Question

已知函数．

(Ⅰ) 求的单调区间；

(Ⅱ) 求所有的实数，使得不等式对恒成立．

Answer

（Ⅰ）当a≤0时， f (x)的增区间是(－∞，＋∞)；当a＞0时，f (x)的增区间是(－∞，－]、[，＋∞)，f (x)的减区间是[－，]；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本小题首先求函数的导数，利用导数的正负求解原函数的单调区间，注意参数的范围，通过分情况讨论可以分别得出函数的增减区间；（Ⅱ）根据第一问可知函数在区间上的单调性，进而可以求得函数在区间上的的最大值和最小值，然后让，即可解得参数的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)  f ′(x)＝3x2－3a．

当a≤0时，f ′(x)≥0恒成立，故f (x)的增区间是(－∞，＋∞)．

当a＞0时，由f ′(x)＞0，得    x＜－ 或 x＞，

故f (x)的增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，f (x)的减区间是[－，]．     7分

(Ⅱ) 当a≤0时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递增，且f (0)＝1，此时无解．

当0＜a＜3时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递减，在[，]上递增，

所以f (x)在[0，]上的最小值为f ()＝1－2a．

所以

即

所以a＝1．

当a≥3时，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上递减，又f (0)＝1，所以

f ()＝3－3a＋1≥－1，

解得a≤1＋，此时无解．

综上，所求的实数a＝1．     15分

考点：1.导数判断单调性；2.解不等式.