Question

已知函数，（且）.

（1）设，令，试判断函数在上的单调性并证明你的结论；

（2）若且的定义域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)本小题有两个思考方向，其一可用单调性的定义给与证明，通过取值、作差、变形、判号、结论可完成证明；其二可用导数给与证明，通过求导数，判断导数的正负可完成证明；(2)本小题首先判断函数在上单调递增，这样根据函数的定义域和值域都是可得，于是把问题转化为一元二次方程求解，通过根与系数的关系可得的表达式，然后求最值；（3）本小题通过不等式变现可得，即得到不等式对恒成立,然后转化为函数的最值得不等式组，求得参数的取值范围.

试题解析：（1）证明：

方法一：任取，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减     5分

方法二：,则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减           5分

（2）由（1）知函数在上单调递增；因为所以在上单调递增，

的定义域、值域都是,则,

即是方程的两个不等的正根，

等价于方程有两个不等的正根，

等价于且  ,则,

时，最大值是         10分

（3）,则不等式对恒成立，

即

即不等式,对恒成立,

令,易证在递增，

同理递减.

.                   15分

考点：1.导数判断单调性；2.函数的最值；3.根与系数关系.