Question

如图，在直三棱柱中，，．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若为的中点，求与平面所成的角．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）所成的角为．

【解析】

试题分析：本题主要考查空间线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，先利用正方形得对角线互相垂直，再利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直平面；第二问，先由已知条件判断是正三角形，由第一问的结论可知，是与平面所成的角，在直角中，得出，所以，即与平面所成的角为．

试题解析：(Ⅰ) 由题意知四边形是正方形，故．

由平面，得．

又，所以平面，故．

从而得平面．         7分

(Ⅱ)设与相交于点，则点是线段的中点．

连接，由题意知是正三角形．

由，是的中线知：与的交点为重心，连接．

由(Ⅰ)知平面，故是在平面上的射影，于是是与平面所成的角．

在直角中，，  ，

所以．

故，即与平面所成的角为．     15分

考点：1.线面垂直的判定定理；2.线面垂直的性质；3.中线的性质；4.直角三角形中求正弦.