Question

已知抛物线：．过点的直线交于两点．抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点．

(Ⅰ)若直线的斜率为1，求；

(Ⅱ)求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）最小值为2.

【解析】

试题分析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问，由已知得出直线l的方程，与抛物线联立，得出两点的坐标，然后利用两点间距离公式求；第二问，由于直线l的斜率不知道，所以设出直线方程，设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，得出两根之和，两根之积，设出在点处的切线方程，求出交点的坐标，利用点到直线的距离公式求出的高，再求，代入到三角形面积公式中，再把两根之和，两根之积代入得到关于的表达式，利用配方法求最值.

试题解析：(Ⅰ)由题意知，直线的方程为，由消去解得，  ．

所以．            6分

(Ⅱ)设直线l的方程为，设点，．

由消去整理得，

知，  ，

又因为，所以，抛物线在点处的切线方程分别为， ．

得两切线的交点．所以点到直线的距离为．

又因为．

设的面积为，所以（当时取到等号）．

所以面积的最小值为2．                                   14分

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.三角形面积公式；3.点到直线的距离公式；4.两点间距离公式.