Question

在△ABC中，内角A，B，C满足4sinAsinC－2cos(A－C)＝1．

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)求sinA＋2sinC的取值范围．

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ)(，]．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用三角函数的和差化积公式化简等式，求得角B的余弦值，从而求得角B的大小；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中角B的大小，把化为一个角的三角函数式，再根据此角的范围，求出整个式子的范围.

试题解析：(Ⅰ)因为4sinAsinC－2cos(A－C)＝4sinAsinC－2cosAcosC＋2sinAsinC

＝－2(cosAcosC－sinAsinC)，

所以－2cos(A＋C)＝1，故cos B＝．

又0＜B＜π，所以B＝．                        6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知C＝－A，故sinA＋2sinC＝2sinA＋cosA＝sin(A＋θ)，

其中0＜θ＜，且sinθ＝，cosθ＝．

由0＜A＜知，θ＜A＋θ＜＋θ，故＜sin(A＋θ)≤1．

所以sinA＋2sinC∈(，]．            14分

考点：1、三角函数和差化积公式；2、三角函数的取值范围.