Question

如图，已知曲线C：y＝x²(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A₁，过A₁作x轴的垂线交曲线C于P₁，过P₁作y轴的垂线交RQ于B₁，记a₁为矩形A₁P₁B₁Q的面积．分别取线段OA₁，P₁B₁的中点A₂，A₃，过A₂，A₃分别作x轴的垂线交曲线C于P₂，P₃，过P₂，P₃分别作y轴的垂线交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，记a₂为两个矩形A₂P₂B₂ A₁与矩形A₃P₃B₃B₁的面积之和．以此类推，记a_n为2^n－1个矩形面积之和，从而得数列{a_n}，设这个数列的前n项和为S_n．

(Ｉ)求a₂与a_n；

(Ⅱ)求S_n，并证明S_n＜．

Answer

(Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.

试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(，)，故a1＝×＝．

又P2(，)，P3(，)，

故a2＝×[＋－]＝×(12＋32－22)＝．

由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有

(，)，i＝0，1，2，，2k－1－1，

故an＝×[＋－＋－＋＋－]

＝×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]

＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}

＝×

＝．

所以a2＝，an＝，n∈N*．        10分

(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝，n∈N*，

故Sn＝－＝－＝．

又对任意的n∈N*，有＞0，

所以Sn＝＜．               14分

考点：1、递推公式；2、等比数列的前n项和公式.