Question

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，可以设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)，联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，接着设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．而l1⊥l2，则l2的斜率为－，设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1，利用坐标表示出，化简得=8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16，故当且仅当k2＝，即k＝±1时，取最小值16.

试题解析：（Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有

－|x|＝1，

化简，得y2＝2x＋2|x|．

当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0．

∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．

（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是

x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．

∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－．

设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1．

故＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·

＝||||＋||||

＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)

＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1

＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1

＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16．

当且仅当k2＝，即k＝±1时，取最小值16．

考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.