Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁＝a₁＋2，且b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列．

（Ⅰ）求a的值及数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{loga_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n．

Answer

（Ⅰ）a＝1，bn＝8n－5；（Ⅱ）9.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依据Sn＝2n－a，根据数列的前n项和，求出数列{an}的通项公式，并且根据初始条件求出a＝1，an＝2n－1，再根据b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，得出(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，解得d＝0（舍去），或d＝8，从而求出{bn}的通项公式为bn＝8n－5；（Ⅱ）由（Ⅰ）an＝2n－1代入logan＝2(n－1)，易知该数列是等差数列，根据等差数列的前n项和，求出Tn＝＝n(n－1)，而bn＝8n－5，根据Tn＞bn，n(n－1)＞8n－5，解得n≥9，故所求n的最小正整数为9.

试题解析：

（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝2－a；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1．

∵{an}为等比数列，

∴2－a＝1，解得a＝1．

∴an＝2n－1．

设数列{bn}的公差为d，

∵b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，

∴(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，

又b1＝3，

∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)，

解得d＝0（舍去），或d＝8．

∴bn＝8n－5．

（Ⅱ）由an＝2n－1，得logan＝2(n－1)，

∴{logan}是以0为首项，2为公差的等差数列，

∴Tn＝＝n(n－1)．

由bn＝8n－5，Tn＞bn，得

n(n－1)＞8n－5，即n2－9n＋5＞0，

∵n∈N*，∴n≥9．

故所求n的最小正整数为9．

考点：1.数列通项公式的求解；2.等差、等比数列的性质应用.