Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

(I)见解析；(II) .

【解析】

试题分析：（I）取得中点，连接，,，由此可证，平面，进而可得；（II）易证，,两两垂直，以坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系，可得,,的坐标，设是平面的一法向量，求出法向量，继而求得，即为所求角的正弦值.

试题解析：（I）取得中点，连接，,

因为，所以,由于,

所以为等边三角形，所以，

又因为,所以平面，

又平面，故；

（II）由（Ⅰ）知，，

又∵面面，面面，∴面，∴，

∴, 两两相互垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，设

有题设知(1,0,0),(0,,0),(0,0,),(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),

设=是平面的法向量，

则，即，可取=（，1，-1），

∴=，

∴直线 与平面所成角的正弦值为.

考点：1.用空间向量求直线与平面的夹角；2.直线与平面垂直的性质；3.平面与平面垂直的判定；4.直线与平面所成的角.