Question

已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；

（Ⅱ）设x₁，x₂∈(0，＋∞)，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

Answer

（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).

【解析】

试题分析：（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜，而x1＞0，所以f(x1)＜f(x1＋x2)，同理f(x2)＜f(x1＋x2)，两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜，而x1＞0，所以f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，……

f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得证.

试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．

∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，

∴F′(x)＞0．

故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．

（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，

∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜．

∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．

同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．

以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．

（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：

设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，

∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，

∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜．

∵x1＞0，

∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

同理可得

f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，

f(x3)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，

……

f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

考点：1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式.