Question

如图，点分别是椭圆C:的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点.

（1）如果点的坐标为（4,4），求椭圆的方程；

（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论.

Answer

（1）；（2）1个.

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆方程，由于，需要通过已知条件表示出点的坐标，由于轴，则，代入椭圆方程求得点的纵坐标，从而求得直线的斜率，根据求的直线的斜率，有直线方程的点斜式求出直线的方程，直线的方程与联立求得点的坐标，从而求得、，由于椭圆中可求出，即可求得椭圆的方程；（2）要判断直线与椭圆的公共点个数，需要求出直线的方程，与椭圆方程联立，消去或得到关于或得一元二次方程，通过判断这个方程的的根的情况，即可得出所求的交点的个数.

试题解析：解方程组得点的坐标为，，

 ，，直线的方程为，

将代入上式解得，.                4分

（1）因为点的坐标为（4,4），所以，解得，，

椭圆的方程为.                            7分

（2），则 点的坐标为，

，

的方程为，即，         9分

将的方程代入椭圆的方程得，

     ①

，

方程①可化为，

解得，

所以直线与椭圆只有一个公共点                     13分

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.