Question

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的右准线方程为，及联立方程组求得、，从而得出椭圆的方程；（2）联立方程组消去得到关于的一元二次方程，利用判别式，得出，由椭圆的对称性知，妨设点，利用推出，又联立程组可求得的值.

试题解析：（1）由题意，，，，，由得.

椭圆C的标准方程为.                                  5分

（2）由得：，

，即，

,,即.    8分

假设存在点满足题意，则由椭圆的对称性知，点应在轴上，不妨设点.

又，，，若以为直径的圆恒过定点，

则+=恒成立，

故，

即.                                                             12分

存在点适合题意，点与右焦点重合，其坐标为（1,0）.            13分

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的关系，向量的数量积.