Question

若数列满足,则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．

Answer

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)； (Ⅲ），

【解析】

试题分析：(Ⅰ)将点的坐标代入函数解析式得，由定义可知是“平方递推数列”. 由得是以为首项，2为公比的等比数列；

（Ⅱ)先由(Ⅰ)中等比数列得，故：；

(Ⅲ）先求得，再求，由，得，从而解得.

试题解析：（I）由题意得：，  即 ，

则是“平方递推数列”．                        2分

又有得是以为首项，2为公比的等比数列．4分

（II）由（I）知 ，                     5分

．8分

（III） ，                            9分

 ，                               10分

又，即，，

又 ， ．                          13分

考点：1.等比数列的判定；2.数列求和；3.数列不等式的解法