Question

已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）求证：.

Answer

（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，

单调递增区间为；（Ⅱ）； （Ⅲ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转化为证.

试题解析：（Ⅰ）                           1分

时，，在上单调递增。                      2分

时，时，，单调递减，

时，，单调递增.             4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），时，

                           5分

即，记 

在上增，在上递减

故，得                         8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），即，则时，

要证原不等式成立，只需证：，即证：

下证    ①                                      9分

①中令，各式相加，得

            成立，                          

故原不等式成立.                                                  14分

方法二：时，

时，

时，

考点：1.利用导数数求函数的单调性；2.利用导数处理不等式的恒成立问题；3.等价转化的数学思想方法