Question

已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、，则内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）圆的面积的最大值为，直线方程.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及研究三角形内切圆面积问题.（1）由椭圆的离心率和左焦点到点的距离为，建立方程组，求出、的值，从而得出椭圆方程；（2）是探索性问题，研究是否存在过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得内切圆的圆面积最大的问题，求解分三个步骤，根据条件得出面积的关系式，将用直线的斜率的倒数表示，再通过函数知识求面积的最大值；由此求出直线的方程；将由面积关系式得到的面积的最大值代入面积关系式，即可得到圆的半径的最大值，进而求出圆的面积的最大值.

试题解析：（1）设椭圆左焦点，则，解得，，

故所求椭圆方程为.

（2）设，，令，，设的内切圆的半径为，则的周长为，，

因此若最大，则最大，

又，由题设知直线的斜率不为0，可设直线的方程为，

联立方程组消去整理得，

由根与系数的关系得，，

，

即，令，则，由此得，

令，即在上单调递增，

，则（当且仅当时，，），

这时所求内切圆的面积的最大值为，

故直线的方程为，内切圆的面积的最大值为.

考点：椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的内切圆面积.