Question

已知数列中，

（Ⅰ）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

Answer

（Ⅰ）详见解析；；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）已知数列中，，像这种分子为单项，分母为多项的递推关系，常常采用取倒数法，即，这样就得到的递推关系，求证：是等比数列，只需证明等于与无关的常数即可，求的通项公式，由前面证明可知是以为首项，为公比的等比数列，故能写出，从而可得；（Ⅱ）若不等式对一切恒成立，求的取值范围，首先求出，而是数列的前n项和，故需求的通项公式，由，可得，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，求它的前n项和，可用错位相减法来求得，从而求出的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由知，，又是以为首项，为公比的等比数列，               6分

（Ⅱ），   

，    两式相减得

                           9分

若n为偶数，则

若n为奇数，则

                           13分

考点：等比数列的判断，数列的通项公式的求法，数列求和．