Question

若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．

（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；

（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；

（Ⅲ）证明不等式：．

Answer

（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，

则定义域内存在实数，使得．

构造函数

．

∵，且在上是连续的，

∴在上至少存在一个零点．

即存在，使．             4分

（Ⅱ）的定义域为．

由已知，存在，使．

即．

整理，得，即．

∴，所以．

由且，得．

∴a的取值范围是．                   9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．

当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．                 １４分

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．