Question

已知函数。（为常数，）

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；

（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）实数的取值范围为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数，是函数的一个极值点，先求出其导函数：，利用是函数的一个极值点对应的结论，即时，它的导函数值为零，可令，即可求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数，由于含有对数函数，可通过求导来证明，因此利用：，在时，分析出因式中的每一项都大于等于0，即得，从而可证明结论；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值为，把问题转化为对任意的，不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数的取值范围为．

试题解析：

（Ⅰ）由已知，得且，

                                                      3分

（Ⅱ）当时， 

当时，  又   

故在上是增函数                                         6分

（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。

记

则

当时，  在区间上递减，此时

由于，时不可能使恒成立，故必有

若，可知在区间上递减，在此区间上，有

，与恒成立相矛盾，故，这时，

在上递增，恒有，满足题设要求，

     即

实数的取值范围为                                       14分

考点：利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．