Question

数列前项和，数列满足（），

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：当时，数列为等比数列；

（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由求解，注意，若满足则不用分段函数，若不满足则需要用分段函数表示；（2）要证明数列是等比数列，需要证明是常数，由条件只需要证明即可；（3）数列中只有最小，可确定且，再证明数列是递增数列，从而可以确定的取值范围，.

试题解析：（1），，

当时，也满足，.

（2），

，

所以，且，

所以是以为首项、为公比的等比数列；

（3）；

因为数列中只有最小，所以，解得；

此时，，于是，为递增数列，

所以时、时，符合题意，综上.

考点：与的关系，等比数列的性质，最值问题.