Question

已知函数，（）

（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；

（2）求函数的单调区间；

（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由

Answer

（1）；（2）当时，，函数的单调递增区间为；

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（3）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，满足条件.

【解析】

试题分析：（1）求，要函数由极值，也就是有实数解，由于是关于的二次函数，则由便求得的取值范围；（2）求，需要对实数进行分类讨论，或，在这两种情况下分别求出函数的单调区间，注意分类讨论问题，应弄清对哪个字母分类讨论，分类应不重不漏；（3）是探索性问题，要说明存在是以O为直角顶点的直角三角形，

且斜边中点在y轴上，需要证明，该方程有解，要对进行分类讨论分别说明.

试题解析：（1），若存在极值点，

则有两个不相等实数根.

所以，解得 .

（2），

当时，，函数的单调递增区间为；

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

当且时，

假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上.

则且.

不妨设.故，则.

，该方程有解，

当时，，代入方程得，

即，而此方程无实数解；

当时，则；

当时，，代入方程得，即，

设，则在上恒成立.

∴在上单调递增，从而，则值域为.

∴当时，方程有解，即方程有解.

综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上.

考点：导数的计算，函数的极值，构造法.