Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P，Q两点，满足直线的斜率依次成等比数列，

求面积的取值范围.

Answer

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：(1)先设出椭圆方程为，再根据条件离心率为及椭圆上的点，代入即可得到椭圆方程；（2）先设出直线方程及，然后联立椭圆方程得到及.再由直线的斜率依次成等比数列得到，由得到.代入中及直线的斜率存在得到，且，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到面积.最后由基本不等式得到，从而得到面积的取值范围.

试题解析：(1) 由题意可设椭圆方程为，则（其中，），且，故.

所以椭圆的方程为.

(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为0.故可设直线：，

设，

由，消去得，

则，

且，

故，

因为直线的斜率依次成等比数列，

所以，即.

又，所以，即.

由于直线的斜率存在，且，得，且，

设为点到直线的距离，则，

，

所以，

故面积的取值范围为.

考点：1.椭圆的标准方程及几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.点到直线的距离公式；4.基本不等式.