Question

设函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，

[0，1]，使成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ；（2）递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）.

【解析】

试题分析：(1)将代入，分别得到，，再由点斜式得到在处的切线方程为；（2）将代入得到，从而得到递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）先将题设条件转化为在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后讨论的范围，又在[1,2]上最小值为.由单调性及从而得到的取值范围为.

试题解析：(1)函数的定义域为

，

当时，，，

，故.

所以在处的切线方程为.

(2) 当时，.

故当或时，；当时，.

所以函数的递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），.

(3)由（2）知，在（1,2）上为增函数，

所以在[1,2]上的最小值为，

若对于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.

又，

当时，在[0,1]上为增函数，与题设不符.

当时，，由及，得；

当时，在[0,1]上为减函数，及得.

综上所述，的取值范围为.

考点：1.导数；2.直线的方程；3.函数的单调性与最值.