Question

如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由侧面，均为正方形可证明三棱柱是直三棱柱. 又点是棱的中点可证明.从而通过线面垂直的判定定理可证⊥平面；（Ⅱ）连结，交于点，连结，通过三角形中位线的知识证明线线平行，从而由线面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根据题中相关垂直条件构建空间直角坐标系.再找平面的法向量及平面的法向量，计算法向量的夹角，通过比较得到二面角的平面角，从而得到所求.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱.      1分

因为平面，所以， 2分

又因为，为中点，

所以.                  3分

因为,

所以平面.           4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，              6分

因为平面，平面，

所以平面.         8分

(Ⅲ)【解析】
因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.

设，则.

，             9分

设平面的法向量为，则有

取，得.                                    10分

又因为平面，所以平面的法向量为，

设二面角的平面角为，则

∴            11分

所以，二面角的余弦值为.             12分

考点：1.线面垂直的判定定理；2.线面平行的判定定理；3.二面角.