Question

设函数，其中．

（I）若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；

（Ⅱ）当时，设，讨论的单调性；

（Ⅲ）在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer

( I ) ；(Ⅱ)当m≥0时，在(0，＋∞)上为增函数；当m＜0时，在上为增函数，在上为减函数.(Ⅲ)存在，.

【解析】

试题分析：( I )先求出定点P，然后找出点P关于直线的对称点代入，即得到；(Ⅱ)将代入，得到，再讨论m的取值范围，从而得到的单调性；(Ⅲ)先求出的表达式，再假设存在P、Q两点满足题意，由，讨论的范围，从而得到a的取值范围为.

试题解析：( I ) 令，则，即函数图象恒过定点P (2，0)    (1分)

∴P (2，0)关于直线的对称点为(1，0)       (2分)

又点(1，0)在的图象上，∴，∴      (3分)

(Ⅱ) ∵且定义域为      (4分)

∴    (5分)

∵x＞0，则x＋1＞0

∴当m≥0时，此时在(0，＋∞)上为增函数.      (6分)

当m＜0时，由得，由得

∴在上为增函数，在上为减函数.      (7分)

综上，当m≥0时，在(0，＋∞)上为增函数.

当m＜0时，在上为增函数，在上为减函数.   (8分)

(Ⅲ)由( I )知，，假设曲线上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在轴两侧，设，则，

因为△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，

，即①

（1）当时，，此时方程①为，化简得.此方程无解，满足条件的P、Q不存在.

(2)当时，，此时方程①为，

即.

设，则，

显然当时，，即在上为增函数，所以的值域为.

所以当时方程①总有解.

综上，存在P、Q两点满足题意，则a的取值范围为.

考点：1.点关于直线对称；2.用导数研究函数的单调性；3.函数的单调性与值域.