Question

已知a为实数，x=1是函数的一个极值点。

(Ⅰ)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)设函数，对于任意和，有不等式

恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ) ； (Ⅱ) 或

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由于x=1是函数的极值点，所以可以求出.即通过求导可以知道函数的单调递减区间（1,5）.又由于函数在区间上单调递减.所以区间 是区间（1,5）的子区间.即可得m的取值范围.

(Ⅱ)由不等式

恒成立.所以要先求出的最大值.即函数f(x)最大值与最小值相减的绝对值.另外的求出g(x)的最小值再解不等式.即可求得结论.本题的综合性较强，要理解清楚题意才能完整解答.

试题解析：.(Ⅰ) .首先x>0.得.令.即f(x)的单调递减区间是（1,5）.因为f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递减.所以(2m-1,m+1) (1,5).所以.

(Ⅱ)由(1). .列表如下：

则..所以.所以恒成立等价于恒成立.因为.当且仅当时取等号.所以.所以.所以或.

考点：1.函数求导.2.不等式恒成立的问题.3.单调性问题.4.绝对值的处理.