Question

已知函数，点、在函数的图象上，

点在函数的图象上，设．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为；

（3）已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

Answer

（1）；

（2）；

（3）当时,；

当时，;

当时，.

【解析】

试题分析：（1）把点点、代入中，点代入函数中，可得，然后利用叠加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂项法求数列的前项和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出

，即，所以最后分类讨论比较与的大小即可.

试题解析：（1）由题有： 

3分

（2），

                                                 8分

（3），，

由知

， 而，所以可得．

于是

．

当时 ；

当时，

当时，

下面证明：当时，

证法一：（利用组合恒等式放缩）

当时，

∴当时，   13分

证法二：（数学归纳法）证明略

证法三：（函数法）∵时，

构造函数，

∴当时，

∴在区间是减函数，

∴当时，

∴在区间是减函数，

∴当时，

从而时，，即∴当时，

考点：1.点与曲线的位置关系；2.数列的通项公式和前n项和；3.不等式的证明.