Question

如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的大小．

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）先证DE//BC，根据直线与平面平行的判定定理可证∥平面；（2）连结PD，则PD  AB．再证DE AB．根据直线与平面垂直的判定定理可得AB平面PDE，所以；（3）以D为原点，直线AB,DE,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则=(1，0， )，=(0， ， ），求出平面PBE的一个法向量，由DE平面PAB，可得平面PAB的一个法向量为．最后根据向量的夹角公式求解即可.

试题解析：【解析】
（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，

\DE//BC ．

DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，

\DE//平面PBC ．         3分

（Ⅱ）连结PD，

PA=PB，

 PD  AB．          4分

，BC  AB，

DE AB．         5分

又 ，

AB平面PDE         6分

PEÌ平面PDE，

ABPE ．         7分

（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．

8分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ，

=(1，0， )，=(0， ， ）．

设平面PBE的法向量，

令

得．           9分

DE平面PAB，

平面PAB的法向量为． 10分

设二面角的大小为，

由图知，，所以即二面角的大小为．          12分

考点：1.直线与平面平行；2.直线与平面垂直的判定与性质；3.平面的二面角.