Question

（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，

①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；

②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．

（2）设出直线AB的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求得四边形APBQ的面积，从而可求四边形APBQ面积的最大值；

（3）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，即可求得得出AB的斜率为定值．

试题解析：（1）设C方程为（a＞b＞0），则。由，，得   故椭圆C的方程为。   4分

（2）①设（，），B（，），直线AB的方程为，代入中整理得，△＞0－4＜＜4，+=，=

四边形APBQ的面积=，当时

②当＝时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为－，PA的直线方程为，代入中整理得

+=0，2+=，

同理2+=，+=，－=，

从而=，即直线AB的斜率为定值      13分

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程．