Question

已知函数=。

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，设=+，

求证：   （），参考数据：。（13分）

Answer

（1）单调增区间是，；

（2）时，；时，==；时，==.

（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求f（x）的导函数f′（x），讨论a的值使f′（x）＞0时对应f（x）单调增，

f′（x）＜0时，对应f（x）单调减；

（2）结合（1），讨论a的取值对应f（x）在区间[1，e]内的单调性，从而求得f（x）在区间[1，e]内的最小值．

试题解析：（1）当时，=，，得或，故的单调增区间是，。    3分

（2）=，==，

令=0得或。

当时，，递增，；        6分

当时，，＜0，递减；，，递增，

==             7分

当时，，0，递减，==…8分

（3）令=—，。，递减，

，，∴ ，

==……=   （）……13分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求闭区间上函数的最值．3.利用导数的性质证明不等式.