Question

已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(Ⅰ)求异面直线CC₁和AB的距离；

(Ⅱ)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

Answer

(Ⅰ)； (Ⅱ).

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, AC＝BC＝3，D为AB的中点，易知CD⊥AB.又侧棱垂直底面，从而有CC1⊥CD，即CD为异面直线CC1和AB的距离，计算其长度即可；(Ⅱ)易证CD垂直于侧面，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角．再根据相关条件求出△A1DB1各边，从而利用余弦定理求出所求角的余弦值即可.

试题解析：(Ⅰ)因AC＝BC，D为AB的中点，故CD⊥AB.

又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD＝＝.

                  5分

(Ⅱ)由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角．                              8分

又CD⊥，AB1⊥A1C，所以AB1⊥平面,从而，都与互余，因此，所以∽，因此＝，得.从而A1D＝＝2，B1D＝A1D＝2，

所以在△A1DB1中，由余弦定理得.       12分

考点：1.异面直线的距离；2.直线与平面垂直的判定与性质；3.二面角.