Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合.

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，由题意计算平面的法向量，由法向量与向量垂直，从而证明了BM//平面ADEF；（2）设出点的坐标，由平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为，分别计算两个半平面的法向量，代入夹角公式，从而得到点. 三棱锥M—BDE中由于到面的距离容易得知，故以为顶点，再计算出底面三角形，利用棱锥的体积公式即可得到所求.

试题解析：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，.即        4分

（2）依题意设，设面的法向量

则，

令，则，面的法向量

，解得

为EC的中点，，到面的距离

      12分

考点：1.线面平行的判定；2.二面角；3.三棱锥的体积.