Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．

（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；

（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据条件，利用等差数列的性质得到的前n项和，然后检验其是否满足①②条件即可；（2）由数列的通项公式经作差可知，当时，，此时，数列单调递减，当时，，即，从而得到数列中的最大项为，由恒成立，从而知的取值范围是.

试题解析：(1)设等差数列的公差是，则

 解得   1分

∴   (3分)

∴ 

∴，适合条件①

又，

∴当或时，取得最大值20，即，适合条件②．

综上，    （6分）

（2）∵，

∴当时，，此时，数列单调递减；   9分

当时，，即，   10分

因此，数列中的最大项是，   11分

∴，即M的取值范围是．   12分

考点：1.新概念的理解；2.等差数列的性质；3.数列的单调性.