Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．

（1）求W关于的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角．

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1）过E作，垂足为，然后将用，再根据题意列出W关于的函数关系式，化简即得；（2）设，，再对其求导，通过导函数确定在的单调性，从而得到该函数的最大值以及取得最大值时相应的角，代入中，即得到W的最小值.

试题解析：（1）如图，过E作，垂足为，由题意得，

 故有，， ，

所以W=.

即 .   6分

（2）设，

则．

令得，即，得．

列表

+

0

-

单调递增

极大值

单调递减

所以当时有，此时有．

答：排管的最小费用为万元，相应的角．  13分

考点：1.三角函数；2.用导数研究函数的单调性；3.利用单调性求最值.