Question

如图，四棱锥的底面为矩形，且,,,，

（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；

（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）垂直；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由得，由底面为矩形得，从而有⊥平面.而∥，所以⊥平面，再由线面垂直的性质得平面⊥平面；（Ⅱ）过点作延长线的垂线，垂足为，连接．然后可以证明⊥平面，从而为与底面所成的角．然后根据相关数据得到直角三角形各边长，最后得到直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：（Ⅰ）平面⊥平面

∵ ∴

∵四棱锥的底面为矩形 ∴

∵⊂平面，⊂平面，且∩ ∴⊥平面       (4分)

∵∥  ∴⊥平面  ∵⊂平面

平面⊥平面                                                      (6分)

（Ⅱ）如图，过点作延长线的垂线，垂足为，连接．

由（Ⅰ）可知⊥平面

∵⊂平面

∴平面⊥平面

∵⊂平面，平面⊥平面，

平面∩平面=

∴⊥平面

∴为在平面内的射影．

∴为与底面所成的角．                      (9分)

，

，在直角三角形中，

在直角三角形中，

故

在直角三角形中，，

故直线与平面所成角的正弦值.                (12分)

考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.