Question

2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为其中=200万.

（1）证明：；

（2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.

Answer

（1）详见解析；（2），能.

【解析】

试题分析：（1）先由条件列出，再证明，将=200代入，化简后得到的显然成立.从而证明的本题；（2）由代入.即用表示了.再用数学归纳法证明即可.

试题解析：（1）依题                           2分

 只需证明，即证.

上式显然成立，所以.                                5分

（2），所以

按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即.       6分

证明如下：当时，，显然成立.

假设时，成立.

则当时 ，是关于的一个二次函数，

令，

其对称轴，所以

，即.

综上所述，成立.即该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.      13分

考点：1.数列的递推公式；2.不等式；3.数学归纳法.