Question

设函数，若时，有极小值，

（1）求实数的取值；

（2）若数列中，，求证：数列的前项和；

（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论.

Answer

(1) ；（2）详见解析；（3）不具有.

【解析】

试题分析：(1)对函数求导，再由极小值的定义，代入得到导数为0以及相应的函数值，从而得到；（2）由上问得到数列为递增的数列，所以 ，将代入即可得证；（3）先对函数求导，计算得极小值点.再通过作出比较大小，即构造函数.再计算该函数的极小值，又因为.从而的极值与不具有明确的大小关系.

试题解析：（1）                         1分

           3分

                             4分

（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增，  5分

                                     7分

（3），由有极值且的定义域为可知：

异号，极小值点为，                8分

      9分

令，构造函数，由条件和第（1）问可知：

时，有极小值 

而                               11分

所以可能大于0或可能等于0或可能小于0，

即的极值与不具有明确的大小关系.               13分

考点：1.函数的求导法则；2.函数的单调性；3.极值；4.作差法比较大小.