Question

已知 ().

（Ⅰ）当时,判断在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若在上的最小值为,求的值；

（Ⅲ）若在上恒成立，试求的取值范围.

Answer

（1）单调递增；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）判断函数的单调性常用作差比较法、导函数法.其共同点都是与0比大小确定单调性.也可以利用基本初等函数的单调性来判断：当时，因为与在上都是单调递增，所以 （）在定义域上单调递增；（2）利用导函数法求闭区间上的最值，首先要求出极值，然后再与两个端点函数值比较得出最值；既要灵活利用单调性，又要注意对字母系数进行讨论；（3）解决“恒成立”问题，常用分离参数法，转化为求新构造函数的最值（或值域）.

试题解析：(1)由题意得，且                               1分

显然，当时，恒成立，在定义域上单调递增；                3分

(2)当时由（1）得在定义域上单调递增，

所以在上的最小值为，      4分

即（与矛盾，舍）；                         5分

当，显然在上单调递增，最小值为0，不合题意；           6分

当，，

                              7分

若（舍）；

若（满足题意）；

（舍）；     8分    

 综上所述．    9分

(3)若在上恒成立，即在上恒成立,(分离参数求解)

等价于在恒成立，令.

则；       10分

令，则

显然当时，在上单调递减,,

即恒成立,说明在单调递减,；     11分     

所以.   12分

考点：函数的单调性、导数及其应用