Question

已知曲线的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.

（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)；（Ⅱ）的取值范围是[32,52]

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已知条件可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），然后将其化为直角坐标即可；（Ⅱ）设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，利用三角函数求解.

试题解析： (1)由已知可得A（2cos，2sin），B（2cos（＋）,2sin（＋）），

C（2cos（＋π）,2sin（＋π）），D（2cos（＋）,2sin（＋）），4分

即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．   5分

(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝，

则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.  9分

因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．         10分

考点：极坐标和参数方程、三角函数、直角坐标和极坐标互化.