Question

如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为零证明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）设平面的法向量，利用空间向量解答即可.

试题解析：

以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，

则    2分

（1）      4分

（2）因为为的中点，则，从而，  5分

，设平面的法向量为，则也即，

得  6分

从而，    7分

所以点到平面的距离为    8分

（3）设平面的法向量，∴

由  令，∴

依题意

∴（不合，舍去）， 

.∴时，二面角的大小为.           12分

考点：线面、面面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用.