Question

小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O为起点,再从A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.

（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

（Ⅱ）写出数量积X的所有可能取值，并求X分布列与数学期望

Answer

（Ⅰ）小波去下棋的概率为 ，小波不去唱歌的概率．（Ⅱ）的所有可能取值为；

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种, 的所有可能取值为,利用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，列出分布列，求期望.

试题解析：（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种。                               1分

而对取出两个向量的数量积进行计算，得到的所有可能取值为；    3分

求小波去下棋的概率，这显然是古典概型，只需找出总的事件数有种，因为就去下棋，只需在下表计算结果中，找出小于零的次数为，                       4分

有古典概型的概率求法知：小波去下棋的概率为 ，                    5分

小波不去唱歌的概率，它的对立事件为，去唱歌，而就去唱歌，

在下表中，共有四次，故去唱歌的概率为,

由对立事件的概率求法知：小波不去唱歌的概率．                  6分

１

０

０

－１

－１

１

－１

－２

－１

－１

－１

０

１

０

１

（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，故所有可能的情况共有15种. 所以其概率分别为，,．（每个1分）       （4分）

故其分布列为:

X

-2

-1

0

1

P

故EX=（6分）

考点：古典概率、离散型随机变量分布列和数学期望.