Question

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线 的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；

（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

Answer

(1)  (2)  (3)

【解析】

试题分析： (1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.

试题解析：（1）依题意，解得（负根舍去）         （2分）

抛物线的方程为；                                          （4分）

（2）设点,，，由,即得. 

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.   （5分）

∵， ∴ .    ∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②  （6分）

 综合①、②得，点的坐标都满足方程 .  （7分）

∵经过两点的直线是唯一的，∴直线 的方程为，即； （8分）

（3）由抛物线的定义可知， （9分）

所以联立，消去得，

    （10分）

     （11分）

当时，取得最小值为                           （12分）

考点：抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系.