Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）实数a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围；（Ⅲ）要证（成立,即证,即证

,由（Ⅱ）可知当时，在上恒成立，又因为,从而证出.

试题解析：（Ⅰ）当时，（），（1分）

（），（2分）

由解得，由解得,

 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3分）

（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可． （4分）

由，  （5分）

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，

故 成立；（6分）

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；（8分）

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是．  （9分）

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立，又，

∵

（10分）

，  （11分）

∴．                   （12分）

考点：利用导数的求单调区间、利用导数求最值、拆项相消法求数列的和.