Question

已知椭圆 的左、右焦点分别是、,是椭圆右准线上的一点，线段的垂直平分线过点.又直线：按向量平移后的直线是，直线：按向量平移后的直线是 (其中)。

（1） 求椭圆的离心率的取值范围。

（2）当离心率最小且时，求椭圆的方程。

（3）若直线与相交于（2）中所求得的椭圆内的一点，且与这个椭圆交于、两点，与这个椭圆交于、两点。求四边形ABCD面积的取值范围。

Answer

（1）；（2）；（3） .

【解析】

试题分析：（1）要求离心率e的范围，就要找出含e的不等式.这个不等式从哪里来？

线段的垂直平分线过点，所以，两边除以得：，解这个不等式即可得离心率的取值范围：.（2）由（1）知的最小值为，即.

又因为，这样便得一个方程组，解这个方程组即可.

（3）据条件知直线与相互垂直，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，其面积.

求出直线与的方程，联立起来解方程组便可得交点P的坐标.因为交战点P在椭圆内，据此可得m的范围.接下来将直线的方程与椭圆的方程联立，再用弦长公式，可得弦AC，再将与椭圆的方程联立，可得弦BD，由此可得四边形ABCD面积与m的函数关系式，再用前面求得的m的范围，就可求出这个函数式的范围，即四边形ABCD面积的取值范围.

试题解析：（1）设椭圆的焦距是，则据条件有

解之得：                             3分

（2）据（1）知，又，得椭圆的方程是

                                     6分

（3）据条件有

：

：                                7分

由   解得

因在椭圆内，有                       9分

又由，消去得

所以

据对称性易知        12分

所以                                 13分

而，所以                                14分

考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、函数的范围；3、不等关系.