Question

已知函数的反函数为，设的图象上在点处的切线在y轴上的截距为，数列{}满足： 

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）在数列中，仅最小，求的取值范围；

（Ⅲ）令函数数列满足,求证：对一切n≥2的正整数都有 

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为；（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将函数的反函数求出来，可得，

再由 得 

是以2为首项，l为公差的等差数列，由此可得数列{}的通项公式

（Ⅱ）求出函数的反函数在点处的切线的截距即得

将，的通项公式代入得：

这是一个二次函数，但n只取正整数，画出图象可以看出当对称轴介于与之间的时候，就仅有最小，，解这个不等式即可得的取值范围

（Ⅲ）由题设可得：结合待证不等式可看出，可将这个等式两边取倒数，这样可得： ，从而

又递推公式可知，各项为正，所以

试题解析：（Ⅰ）

∴函数的反函数 

则得 

是以2为首项，l为公差的等差数列，故             （3分）

（Ⅱ） 在点处的切线方程为

令， 得

            （6分）

依题意，仅当时取得最小值，

，解之

∴的取值范围为                   （8分）

（Ⅲ）故 

又故，

又

故                              （14分）

考点：1、数列与不等式；2、函数的反函数；3、利用导数求切线