Question

设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值．

Answer

（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ）函数在处取得极小值，在处取得极大值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把代入，得，结合已知条件即可得切点的坐标为．再对求导，即可求得，即可得所求切线的斜率，最后利用直线方程的点斜式，即可得所求切线的方程；（Ⅱ）首先对求导，得．令，解得或．，列出当变化时，，随的变化情况表格，即可求得当时，函数的极大值和极小值．

试题解析：（Ⅰ）当时，，得，            1分

且，．       3分

所以，曲线在点处的切线方程是，      5分

整理得．                                  6分

（Ⅱ）【解析】
，．

令，解得或．                           8分

若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．                 12分

考点：1．曲线切线方程的求法；2．利用导数求函数的极值．