Question

已知，，，.

（Ⅰ）请写出的表达式（不需证明）；

（Ⅱ）求的极小值；

（Ⅲ）设，的最大值为，的最小值为，试求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）的极小值；（Ⅲ）的最小值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先由已知条件写出，的表达式，观察式子的结构特征，用不完全归纳法归纳出表达式（可以用数学归纳法给出证明）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，要求极值点，就要借助的导函数，令，解出可能的极值点，验证是极值后代入解析式，即可求出的最小值；（Ⅲ）类比求函数的最小值的过程，即可求出函数的极大值，进而求出函数的最大值，从而得的关系式，将它看作数列，研究该数列相邻两项的关系，即可求得的最小值；得的关系式后，也可以构造函数，利用导数求它的最小值，即得的最小值．

试题解析：（Ⅰ）                       4分

(Ⅱ)∵，∴当时，；当时，,∴当时，取得极小值，即（）    8分

(Ⅲ)解法一：∵，所以.     9分

又，∴，令，则.                                 10分

∵在单调递增，∴，∵，，

∴存在使得.                             12分

∵在单调递增，∴当时，；当时，，即在单调递增，在单调递减，∴，又∵，，，

∴当时，取得最小值.                            14分

解法二： ∵，所以.        9分

又，∴，令，则，                             10分

当时，，又因为，所以，，，

∴，所以.                        12分

又，，∴当时，取得最小值.      14分

考点：1．导数的运算；2．利用导数讨论函数的单调性、求函数的极值、最值；3．数列的最值；4．合情推理．