Question

已知且，函数，，记．

（Ⅰ）求函数的定义域及其零点；

（Ⅱ）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）函数的定义域，其零点为0；（Ⅱ）①当时，实数的取值范围为：；②当时，实数的取值范围为：．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知可得函数的解析式：（且）．由可得函数的定义域．令，由对数函数的性质化同底后可解得的值，注意需验证是否在函数定义域内；（Ⅱ）把关于的方程化为：，设，构造函数，可得这个函数单调性和最值，从而得，最后分和两种情况可求得实数的取值范围．

试题解析：（1）（且），由 ，解得，所以函数的定义域为．令，则（*）

方程变为，，即，解得，  4分

经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为．    6分

（2）（），，．设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，，所以．①若，则，方程有解；②若，则，方程有解．                                         13分

考点：1．函数的零点与方程的根的关系；2．函数的定义域和最值．