Question

设函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）在（2）的条件下，设函数，若对于 [1，2]， [0，1]，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）单调增区间为;单调减区间为；（3）b的取值范围是

【解析】

试题分析：(1)由函数当时，首先求出函数的定义域.再通过求导再求出导函数当时的导函数的的值即为切线的斜率.又因为过点则可求出在的切线方程.本小题主要考查对数的求导问题.

（2）当时通过求导即可得，再求出导函数的值为零时的x值.由于定义域是x大于零.所以可以根据导函数的正负值判断函数的单调性.

（3）由于在（2）的条件下，设函数，若对于 [1，2]， [0，1]，使成立.等价于在上的最小值要大于或等于在上的最小值.由于是递增的所以易求出最小值.再对中的b进行讨论从而得到要求的结论.

试题解析：函数的定义域为，                       1分

                                  2分

（1）当时，，，        3分

，

，                                            4分

在处的切线方程为.                     5分

(2) .

当,或时, ;                              6分

当时, .                                         7分

当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.   8分

(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)

（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，

∴函数在[1，2]上的最小值为               9分

若对于[1，2]，≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                         10分

又，

当时，在上为增函数，

与（*）矛盾                      11分

当时，，由及

得，                                             12分

③当时，在上为减函数，

及得.                                           13分

综上，b的取值范围是                               14分

考点：1.利用求导求函数的切线方程.2.函数的单调性.3.关于任意与存在相关的不等式的问题.4.区别恒成立问题.