Question

如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

(Ⅰ)求与底面所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.

Answer

(Ⅰ) 45°； (Ⅱ)参考解析； (Ⅲ) －

【解析】

试题分析：（Ⅰ) 由于平面PDC垂直于平面AC，并且三角形PDC是等边三角形.所以通过做DC边上的高PO.即可得直线与底面所成角为∠PAO.通过底面AC是菱形可求得AO，所以通过解直角三角形PAO即可求得∠PAO 的大小.即为结论.

(Ⅱ) 通过建立空间坐标系，写出相关点A,P,D,B,C,M的坐标.计算出向量PA,向量DM,向量DC.通过向量PA与向量DM的数量积为0可得这两条直线垂直.同理可以证明PA垂直于DC.从而可得直线PA垂直于平面CDM.即通过向量知识证得线面垂直.

(Ⅲ)求二面角的余弦值通过求出平面DCM和平面BCM的法向量.再求两法向量的夹角的余弦值的绝对值，再根据图形判断正负即可.

试题解析：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影．

∴∠PAO就是PA与底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．

(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，

∴．∴

．∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．

(III)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……②

由①、②，取x=−1，则．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴．∴所求二面角的余弦值为－．…13分

考点：1.线面所成的角.2.空间坐标系的建立.3.线面垂直的判断.4.二面角的求法.