Question

已知函数，是大于零的常数．

（Ⅰ）当时,求的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；

(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立.

Answer

（I）极大值，极小值.

（Ⅱ）当函数在区间上为单调递增时，或．

（Ⅲ）曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．

【解析】

试题分析：（I）求极值一般遵循“求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值”.

（Ⅱ）函数在区间上为单调递增，因此，其导函数为正数恒成立，据此建立的不等式求解.

应注意结合的不同取值情况加以讨论.

（Ⅲ）通过确定函数的极大值、极小值点,, 并确定的中点.

设是图象任意一点,由，可得，

根据，可知点在曲线上，作出结论.

本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求.

试题解析：（I），，

当时，，

令得.

在分别单调递增、单调递减、单调递增，

于是，当时，函数有极大值，时，有极小值.

------4分

（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，

则在上恒成立，

当，即时，由得；

当，即时，，无解；

当，即时，由得．

综上，当函数在区间上为单调递增时，或．    10分

（Ⅲ），，

令，得，

在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，

于是当时，有极大值；

当时，有极小值．

记,, 的中点,

设是图象任意一点,由，得，

因为

，

由此可知点在曲线上，即满足的点在曲线上．

所以曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．          14分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，平面向量的坐标运算.